高数题考研(高数题考研)

根据题意，对任意x∈I，有

S=(1/2)*底*高

=(1/2)*[|f(x)|/f'(x)]*|f(x)|

=4

f(x)^2=8f'(x)

8df(x)/dx=f(x)^2

df(x)/f(x)^2=dx/8

∫df(x)/f(x)^2=∫dx/8

1/f(x)=-x/8+C

f(x)=1/(C-x/8)=8/(C-x)，其中C是任意常数

因为f(0)=2

所以C=4

即f(x)=8/(4-x)

解：要m取适当的值，使lim(x→∞)[(x^α+8x^4+2)^m-x]，又α≥5，∴(x^α+8x^4+2)^m展开式中次数的最高项与x是同阶量，才能保证极限存在。故，mα=1时，即m=1/α时，所求极限存在。∵当x→∞、α≥5时，(x^α+8x^4+2)^(1/α)~(x^α+8x^4)^(1/α)=x[1+8x^(4-α)]^(1/α)，其中x^(4-α)是无穷小量，由广义二项展开式，有x[1+8x^(4-α)]^(1/α)=x{1+(1/α)[8x^(4-α)]+(1/α)(1/α-1)/(2!)[8x^(4-α)]^2+o([x^(4-α)]^2)}，∴(x^α+8x^4+2)^(1/α)-x={(1/α)[8x^(5-α)]+(1/α)(1/α-1)/(2!)x[8x^(4-α)]^2+o([x^(4-α)]^2)}。∴α=5时，其极限为8/5；当α>5时，其极限为0。供参考。